Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$；
（1）求$\frac{b}{a}$；
（2）若△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，c=$\sqrt{2}$，求角C．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦，去分母整理后，利用正弦定理化简即可求出所求式子的值；
（2）利用三角形面积公式及余弦定理分别列出关系式，联立即可求出C．

解答 解：（1）因为tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$=$\frac{sinA}{cosA}$，
即sinA-sinAcosC=cosAsinC，
整理得：sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
利用正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$
化简得：a=b，
则$\frac{b}{a}=1$；
（2）∵a=b，△ABC面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，c=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$①，
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}-2}{2{a}^{2}}$，即1-$\frac{1}{{a}^{2}}$=cosC②，
联立①②解得：1-$\sqrt{3}$sinC=cosC，所以2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，解得C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，所以C=$\frac{π}{6}$或$\frac{π}{2}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键