Question

给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点；
②若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值；
③若m≥-1，则函数y=log 

1

2

（x²-2x-m）的值域为R；
④已知x₁是方程x+lgx=5的根，x₂是方程x+10^x=5的根，则x₁+x₂=5．
其中正确的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①利用零点存在定理判断即可；
②举例说明，令f（x）=x³，f′（0）=0，判断即可；
③令g（x）=x²-2x-m，依题意，方程x²-2x-m=0有实根，从而可求得m；
④利用y=lgx与y=10^x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，判断即可．

解答：解：①∵f（x）=lnx-2+x在（1，e）上连续不断，且f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，
∴函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点，即①正确；
②不妨令f（x）=x³，则f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）=x³在R上单调递增，无极值，而f′（0）=0，
∴②若f′（x₀）=0，则函数y=f（x）在x=x₀处取得极值，错误；
③令g（x）=x²-2x-m，依题意，方程x²-2x-m=0有实根，
∴△=（-2）²-4×（-m）=4+4m≥0，
∴m≥-1，故③正确；
对于④，方程方程x+lgx=5和方程x+10^x=5的可化为方程lgx=5-x和方程10^x=5-x，
令f（x）=lgx，g（x）=10^x，y=5-x，画图：
显然x₁是函数f（x）=lgx 与 y=5-x图象的交点的横坐标，
x₂是函数g（x）=10^x与 y=5-x的图象的交点的横坐标，
由于函数 f（x）=lgx与g（x）=10^x的图象关于y=x对称，直线y=5-x也关于y=x 对称，且直线 y=5-x与它们都只有一个交点，
∴这两个交点关于y=x对称．又因为两个交点的中点P是y=5-x与y=x 的交点，即P（

5

2

，

5

2

），
∴x₁+x₂=2×

5

2

=5，
∴④正确．
∴正确的序号是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查零点存在定理、极值的概念、对数函数的性质及反函数，属于中档题．