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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为直角梯形,AD//BC,且,BCDC,BAD=60°,平面PAD底面ABCD,E为AD的中点,PAD为等边三角形,M是棱PC上的一点,设(M与C不重合).

1)求证:CDDP;

(2)若PA平面BME,求k的值;

3)若二面角M﹣BE﹣A的平面角为150°,求k的值.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3).

【解析】

试题分析:(1)先证从而平面,进而再由得到,可证;(2)连接,连接可得,从而,进而求出的值;(3)连接,做,做,连,则为二面角的平面角,进而可求出的值.

试题解析:证明:(1)因为PAD为等边三角形,E为AD的中点,所以PEAD.

因为平面PAD平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,PE平面PAD,

所以PE平面ABCD.

又CD平面ABCD,所以PECD.

由已知得CDDA,PE∩AD=E,所以CD平面PAD.

双DP平面PAD,所以CDDP.

解:2)连接AC交BE于N,连接MN.

因为PA平面BME,PA平面PAC,

平面PAC∩平面BME=MN,所以PAMN.

因为ADBC,BCDC,所以CBN=AEN=90°.

又CB=AE,CNB=ANE,所以CNB≌△ANE.

所以CN=NA,则M为PC的中点,k=1.

3)依题意,若二面角M﹣BE﹣A的大小为150°,则二面角M﹣BE﹣C的大小为30°.

连接CE,过点M作MFPE交CE于F,过A(0,1,0)作FGBE于G,连接MG.

因为PE平面ABCD,所以MF平面ABCD.

又BE平面ABCD,所以MFBE.

又MF∩FG=F,MF平面MFG,FG平面MFG,

所以BE平面MFG,从而BEMG.

MGF为二面角M﹣BE﹣C的平面角,即MGF=30°.

在等边PAD中,.由于,所以

,所以

MFG中,

解得k=3.

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