Question

已知四个面都是直角三角形的三棱锥，其中三个面展开后构成一直角梯形ABCD，如图AD⊥AB，AD⊥DC，AB=2，BC=

3

，CD=1，则这个三棱锥外接球的表面积是

 

（结果可含π）

Answer 1

分析：如图所示，取AD中点E，则CE、BE为折线，三角形BEC为底面三角形，通过计算说明∠ECB=90°，∠PCB=90°，故各平面三角形都有一个直角．BE的中点为O，就是外接球的球心，OE就是半径，求出半径，即可求出球的表面积．

解答：解：如图所示，取AD中点E，则CE、BE为折线，三角形BEC为底面三角形，AB=2，BC=

3

，CD=1
AD=

2

，DE=

2

2

，CE=

6

2

，
BE=

3 2

2

CE²+BC²=

9

2

，BE²=

9

2

，
CE²+BC²=BE²，
∠ECB=90°，
按折线折起后，三角形PCB，PC=CD=1，PB=AB=2，BC=

3

，

∠PCB=90°，
故各平面三角形都有一个直角．
BE的中点为O，就是外接球的球心，OE就是半径：

3 2

4

外接球的表面积为：4π(

3 2

4

)2=

9π

2

故答案为：

9π

2

点评：本题是中档题，考查空间想象能力，逻辑思维能力，以及计算能力，作图能力，合理选择折线是解好本题的突破口、关键点．