Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)的两条准线间距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为

2

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）双曲线C中是否存在以点P(1，

1

2

)为中点的弦，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知设右焦点（c，0），则c²=a²+b²，由已知：

2• a2 c =3 d= |c-1 2 = 2 2

，由此能求出双曲线C的方程．
（2）假设存在以P为中点的弦AB．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：

x 2 1 3 - y 2 1 =1 x 2 2 3 - y 2 2 =1

，再由韦达定理和根的判别式能推导出不存在以P为中点的弦．

解答：解：（1）由已知设右焦点（c，0），则c²=a²+b²
由已知：

2• a2 c =3 d= |c-1 2 = 2 2

∴a=

3

b=1c=2
∴双曲线C的方程为：

x2

3

-y2=1
（2）假设存在以P为中点的弦AB．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则：

x 2 1 3 - y 2 1 =1 x 2 2 3 - y 2 2 =1

∴

x 2 1 - x 2 2

3

-(

y

2 1

-

y

2 2

)=0
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

(x1+x2)

3(y1+y2)

∵P为中点
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
∴kAB=

2

3

∴此时直线AB：y-

1

2

=

2

3

(x-1)即y=

2

3

x-

1

6

联立AB与双曲线方程有：

y= 2 3 x- 1 6 x2 3 -y2=1

代简得：4x²-8x+37=0
∵△=8²-4×4×37＜0
∴无解．
故不存在以P为中点的弦．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．