Question

4．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则$\frac{BE}{CF}$的取值范围为$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理得AC=$\frac{3}{2}$AB，AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}AB$，由余弦定理可求BE²=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，CF²=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，从而化简可得$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，结合范围cosA∈（-1，1），可求$\frac{BE}{CF}$的取值范围．

解答 解：∵3sinC=2sinB，可得：3AB=2AC，即：AC=$\frac{3}{2}$AB，
又∵点E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC，AF=$\frac{1}{2}AB$，
∴在△ABE中，由余弦定理可得：BE²=AB²+AE²-2AB•AEcosA
=AB²+（$\frac{3}{4}$AB）²-2AB•$\frac{3}{4}$AB•cosA
=$\frac{25}{16}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
在△ACF中，由余弦定理可得：CF²=AF²+AC²-2AF•ACcosA
=（$\frac{1}{2}$AB）²+（$\frac{3}{2}$AB）²-2•$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{2}$AB•cosA
=$\frac{5}{2}$AB²-$\frac{3}{2}$AB²cosA，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{\frac{\frac{25}{16}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}{\frac{5}{2}A{B}^{2}-\frac{3}{2}A{B}^{2}cosA}}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$，
∵A∈（0，π），
∴cosA∈（-1，1），可得：$\frac{15}{40-24cosA}$∈（$\frac{15}{64}$，$\frac{5}{16}$），
∴可得：$\frac{BE}{CF}$=$\sqrt{1-\frac{15}{40-24cosA}}$∈$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．
故答案为：$（\frac{1}{4}，\frac{7}{8}）$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，不等式的解法在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．