Question

二阶矩阵M对应的变换T将点（2，-2）与（-4，2）分别变换成点（-2，-2）与（0，-4）．
①求矩阵M；
②设直线l在变换T作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题①用待定系数法设出矩阵M，将矩阵与向量的积转化为方程组，解方程组，得到矩阵M；②在直线l任意一点P（x，y），点P在变换T作用下得到了点P′（x′，y′），由在变换T作用得到坐标间的关系，代入直线m的方程，得到坐标x、y的关系式，即得到直线l的方程．

解答： 解：①设M=

a b c d

，
∵矩阵M对应的变换T将点（2，-2）与（-4，2）分别变换成点（-2，-2）与（0，-4），
∴

a b c d

•

2 -2

=

-2 -2

，

a b c d

•

-4 2

=

0 -4

，
∴

2a-2b=-2 2c-2d=-2 -4a+2b=0 -4c+2d=-4

，
∴

a=1 b=2 c=3 d=4

．
∴M=

1 2 3 4

．
②在直线l任意一点P（x，y），点P在变换T作用下得到了点P′（x′，y′），
∵直线l在变换T作用下得到了直线m：x-y=6，
∴

1 2 3 4

•

x y

=

x′ y′

且x′-y′=6，
∴x′=x+2y，
y′=3x+4y，
∴（x+2y）-（3x+4y）=6，
即x+y+3=0，
∴直线l的方程是x+y+3=0．

点评：本题考查了矩阵与向量的积的运算以及求矩阵作用下直线的方程，本题难度不大，属于基础题．