Question

已知等比数列{a_n}的各项均为不等于1的正数，数列{b_n}满b_n=lga_n，b₃=18，b₆=12，则数列{b_n}前n项和的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．再由b₃，b₆，用a₁和q表示出a₃和b₆，进而求得q和a₁，根据{a_n}为正项等比数列推知{b_n}为等差数列，进而得出数列b_n的通项公式和前n项和，可知S_n的表达式为一元二次函数，根据其单调性进而求得S_n的最大值．

解答：解：由题意可知：lga₃=b₃，lga₆=b₆．
又因为b₃=18，b₆=12，所以a₁q²=10¹⁸，a₁q⁵=10¹²，
所以q³=10^-6，即q=10^-2，∴a₁=10²²．
又因为数列{a_n}为等比数列，
所以数列{b_n}是等差数列，并且且d=-2，b₁=22，
所以b_n=22+（n-1）×（-2）=-2n+24．
∴S_n=22n+

n(n-1)

2

×（-2）=-n²+23n=-(n-

23

2

)2+

529

4

，
又因为n∈N^*，所以n=11或12时，数列{b_n}前n项和的最大值为132．
故答案为132．

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．