Question

15．已知定义域为R的函数f（x），对于x∈R，满足f[f（x）-x²+x]=f（x）-x²+x，设有且仅有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，则实数x₀的值为（　　）

• A． .0
• B． .1
• C． 0或1
• D． .无法确定

Answer 1

分析 因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀，所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀，因为f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1．再验证，即可得出结论．

解答 解：因为对任意x∈R，有f（f（x）-x²+x）=f（x）-x²+x．
又因为有且只有一个实数x₀，使得f（x₀）=x₀
所以对任意x∈R，有f（x）-x²+x=x₀
在上式中令x=x₀，有f（x₀）-x₀²+x₀=x₀
又因为f（x₀）=x₀，所以x₀-x₀²=0，故x₀=0或x₀=1
若x₀=0，则f（x）-x²+x=0，即f（x）=x²-x
但方程x²-x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x₀≠0
若x₀=1，则有f（x）-x²+x=1，即f（x）=x²-x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1，
综上，x₀=1．
故选：B．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．