Question

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件可知

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

，由此能够推导出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由方程组

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则

a+c=3 a-c=1

解得

a=2 c=1

∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由方程组

x 2   4 + y2 3 =1 y=kx+m

消去y，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由题意：△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
整理得：16k²-3m²+12＞0 ①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即(1+k2)•

4m2-12

3+4k2

+(km-2)•

-8km

3+4k2

+m2+4=0
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或m=-

2k

7

，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去
当m=-

2k

7

时，直线l的方程为y=k(x-

2

7

)，过定点(

2

7

，0)，
故直线l过定点，且定点的坐标为(

2

7

，0)．

点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解题时要注意的灵活运用．