Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
（1）当a=1时求方程|f（x）|=g（x）的解；
（2）若方程|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求a的值；
（3）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据方程|f（x）|=g（x），可得|x-1|（|x+1|-1）=0，由此可求方程的解：
（2）原方程有两个不同的解，即|x-1|（|x+1|-a）=0有两个不同的解，因为|x-1|=0时，x=1是方程的解，所以|x+1|-a=0只能有一个不是1的解，由此可求a的值；
（3）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即不等式x²-1≥a|x-1|在R上恒成立，分类讨论，去掉绝对值符号，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，方程|f（x）|=g（x）可化为|x²-1|=|x-1|，即|x-1|（|x+1|-1）=0…（2分）
由|x-1|=0得x=1，由|x+1|-1=0得x=0，x=-2，所以方程的解为-2，0，1．…（4分）
（2）原方程有两个不同的解，即|x-1|（|x+1|-a）=0有两个不同的解，…（5分）
因为|x-1|=0时，x=1是方程的解，所以|x+1|-a=0只能有一个不是1的解，所以a≥0，
a=0时，由|x+1|-a=0得x=-1≠1，所以a=0成立，…（7分）
a＞0时，由|x+1|-a=0得x₁=-a-1，x₂=a-1，若x₁=-a-1=1，则a=-2（舍去）
若x₂=a-1=1，则a=2，此时x₁=-3≠1，所以满足题意的实数a的值为0或2．…（9分）
（3）原不等式在R上恒成立，即不等式x²-1≥a|x-1|在R上恒成立，
①当x≥1时，有x²-1≥a（x-1），即x+1≥a恒成立，此时x+1≥2，所以a≤2…（11分）
②当x＜1时，有x²-1≥-a（x-1），即x+1≤-a恒成立，此时x+1＜2，所以a≤-2…（13分）
综合①②得a≤-2．…（14分）

点评：本题考查方程解，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．