Question

已知直线l：y=2x+1和圆C：x²+y²=4，
（1）试判断直线和圆的位置关系．
（2）求过点P（-1，2）且与圆C相切的直线的方程．

Answer 1

解：（1）因为x²+y²=4，
所以圆心为（0，0），半径r=2．
又因为y=2x+1，
所以圆心到直线的距离为d=＜2=r．
所以直线与圆相交．
（2）设过点P（-1，2）且与圆C相切的直线的方程为x=-1时，不合题意舍去
设过点P（-1，2）且与圆C相切的直线的方程的斜率为k，
则切线方程为kx-y+k+2=0，
由，
化简得3k²-4k=0
解得k=0或
所以切线方程为y=0或4x-3y+10=0
分析：（1）根据圆的标准方程，找出圆心C的坐标和半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离d，判定d与r的大小即可确定出直线l与圆C的位置关系；
（2）设过点P（-1，2）且与圆C相切的直线的方程为x=-1时，不合题意舍去；设过点P（-1，2）且与圆C相切的直线的方程的斜率为k，得出切线方程为kx-y+k+2=0，利用圆心到直线的距离等于半径列出关于k的方程，求出k值，从而得出切线方程．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生掌握点到直线的距离公式．圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d＞r时，直线与圆的位置关系为相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交．