Question

椭圆C：的离心率e=，且过点P（1，）．
（l）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l 与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且△OAB的面积为，求l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率e=，且过点P（1，），建立方程，求得几何量，由此可得椭圆的方程；
（2）设出l的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，求得|AB|，求出O到直线l的距离，利用△OAB的面积为，即可求l的方程．
解答：解：（1）由题意有：，可求得：a=2，b=，
所以，椭圆C的方程：
（2）设直线l：y=x+n，由，消去y可得：7x²+8nx+4n²-12=0 ①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=，
所以|AB|==
又O到直线l的距离为d=
所以，
解得n=±1或n=±，代入①式，△＞0，
所以直线l为：y=x±1或y=x±
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．