Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，BC=3，CC₁=2，求平面A₁BC₁与ACD₁的距离．

Answer 1

【答案】分析：先根据条件得到平面A₁BC₁∥平面ACD₁，把问题转化为求点D₁ 到平面A₁BC₁ 的距离，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标以及平面A₁BC₁ 的法向量，最后代入公式求解即可．
解答：解：∵BC₁∥AD₁，AD₁?平面ACD₁
∴BC₁∥平面ACD₁，
同理A₁B∥平面ACD₁，A₁B∩BC₁=B，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁
建立如图直角坐标系，
∵AB=4，BC=3，CC₁=2，A₁=（3，0，2），B（3，4，0），C₁（0，4，2）
∴，
设 为平面A₁BC₁ 的法向量，
则⇒⇒4y-2z=0，
⇒⇒-3x+2z=0，
不妨设 z=1，
∴，
∴
设两平行平面间的距离为d
则d 等于D₁ 到平面A₁BC₁ 的距离 
∴．
点评：本题主要考察两平行平面间的距离计算．解决本题的关键在于先根据条件得到平面A₁BC₁∥平面ACD₁，把问题转化为求点D₁ 到平面A₁BC₁ 的距离．