Question

（2013•广州三模）已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=32，且2a₂、3a₃、4a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a₂+4a₄=6a₃，结合等比数列的通项公式可得a₁q+2a₁q³=3a₁q²．解方程可求首项a₁，公比q，进而可求通项
（2）由（1）可求a_n=2^6-n，b_n=log₂2^6-n=6-n．则有|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

，从而分1≤n≤6及n≥7两种情况分别对数列进行求和即可

解答：解：（1）因为2a₂、3a₃、4a₄成等差数列，
所以2a₂+4a₄=6a₃，即a₁q+2a₁q³=3a₁q²．
因为a₁≠0，q≠0，所以2q²-3q+1=0，即（q-1）（2q-1）=0．
因为q≠1，所以q=

1

2

．所以an=a1qn-1=32×(

1

2

)n-1=26-n．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^6-n（n∈N^*）．
（2）因为a_n=2^6-n，所以b_n=log₂2^6-n=6-n．
所以|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

当1≤n≤6时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b_n=

n×[5+(6-n)]

2

=-

1

2

n2+

11

2

n；
当n≥7时，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（b₁+b₂+…+b₆）-（b₇+b₈+…+b_n）=2（b₁+b₂+…+b₆）-（b₁+b₂+…+b_n）=2×15-(-

1

2

n2+

11

2

n)=

1

2

n2-

11

2

n+30．
综上所述，Tn=

- 1 2 n2+ 11 2 n      1≤n≤6 1 2 n2- 11 2 n+30  n≥7.

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列综合的基本运算，这是数列部分最基本的类型考查，而（2）的关键是要对n分类讨论，求解的关键还是等差数列的求和公式．