Question

7．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=-0.5．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得函数f（x）的周期为2，则有f（7.5）=f（-0.5+4×2）=f（-0.5），进而结合函数的奇偶性可得f（-0.5）=-f（0.5）；又由函数在当0≤x≤1时的解析式可得f（0.5）的值，将其代入f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）中即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为2，
则f（7.5）=f（-0.5+4×2）=f（-0.5），
又由f（x）是定义域为R的奇函数，即f（-x）=-f（x），
则f（-0.5）=-f（0.5），
则有f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）；
又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5，
则f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5，
即f（7.5）=-0.5，
故答案为：-0.5．

点评 本题考查函数的单调性与周期性的综合运用，解题的关键是充分利用周期性与奇偶性，发现f（7.5）与f（0.5）的关系．