Question

已知映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

）（m≥0，n≥0）．设点，A（1，3），B（3，1），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M′所经过的路线长度为

π

3

．

Answer 1

分析：根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．

解答：解：设点M′从A′开始运动，直到点B′结束，由题意知AB的方程为：x+y=4．设M′（x，y），
则M（x²，y²），由点M在线段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

），可得 A（1，3）→A′（1，

3

），B（3，1）→B′（

3

，1），
故tan∠A′OX=

3

1

=

3

，∴∠A′OX=

π

3

．
tan∠B′OX=

1

3

=

3

3

，∴∠B′OX=

π

6

，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=

π

6

，
点M的对应点M′所经过的路线长度为弧长

A′B′

=∠A′OB′•r=

π

6

×2=

π

3

，
故答案为

π

3

．

点评：本题考查弧长公式和轨迹方程，本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹，题目不大，但是涉及到的知识点不少，属于基础题．