Question

（本小题满分14分）如图,四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC,PD=1,PC=．
（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）二面角A－PB－D的大小为60°。

（Ⅰ）证明:,
．……2分
   又,……4分
∴ PD⊥面ABCD………6分
（Ⅱ）解:连结BD,设BD交AC于点O,
过O作OE⊥PB于点E,连结AE,
∵PD⊥面ABCD, ∴,
又∵AO⊥BD,∴AO⊥面PDB．
∴AO⊥PB,
∵,
∴,从而,
故就是二面角A－PB－D的平面角．……………………10分
∵PD⊥面ABCD,  ∴PD⊥BD,
∴在Rt△PDB中, ,
又∵,   ∴,………………12分
  ∴ ．
故二面角A－PB－D的大小为60°．…………………14分
（也可用向量解）