Question

（2007•东城区一模）如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

分析：解法一：（ I）由题设条件，易证得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由线面垂直的判定定理证得AB⊥平面PCB；
（II）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF即可证得∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．在△PFA中求角即可．
（Ⅲ）取AP的中点E，连接CE、DE，可证得∠CED为二面角C-PA-B的平面角，在△CDE中求∠CED即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）以B为原点，建立坐标系，求出

AP

=(

2

，-

2

，2)，

BC

=(

2

，0，0)，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线AP与BC所成的角；
（Ⅲ）求出平面PAB的法向量

m

=(

2

，0，-1)，平面PAC的法向量

n

=（1，1，0），利用向量的夹角公式，即可求得二面角C-PA-B的大小．

解答：解法一：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（Ⅱ）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF． 由三垂线定理，得PF⊥AF．则AF=CF=

2

，PF=

PC2+CF^

=

6

，
在Rt△PFA中，tan∠PAF=

PF

AF

=

6

2

=

3

，即∠PAF=

π

3

．
∴异面直线PA与BC所成的角为

π

3

．
（Ⅲ）取AP的中点E，连接CE、DE．
∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=

2

．
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角．
由（Ⅰ）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，AC=2，∴BC=

2

．
在Rt△PCB中，PB=

PC2+BC2

=

6

，CD=

PC•BC

PB

=

2× 2

6

=

2

3

．
在Rt△CDE中，sin∠CED=

CD

CE

=

2 3

2

=

6

3

．
∴二面角C-PA-B的大小为arcsin

6

3

．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=

2

．
以B为原点，如图建立坐标系．则A(0，

2

，0)，B（0，0，0），C(

2

，0，0)，P(

2

，0，2)．

AP

=(

2

，-

2

，2)，

BC

=(

2

，0，0)．
∴cos＜

AP

，

BC

＞=

AP • BC

| AP |•| BC |

=

2

2 2 × 2

=

1

2

．
∴异面直线AP与BC所成的角为

π

3

．
（Ⅲ）设平面PAB的法向量为

m

=（x，y，z）．

AB

=(0，-

2

，0)，

AP

=(

2

，-

2

，2)，
则

AB • m =0 AP • m =0

，即

- 2 y=0 2 x- 2 y+2z=0

，令z=-1，得

m

=(

2

，0，-1)．
设平面PAC的法向量为

n

=（x′，y′，z′）．

PC

=(0，0，-2)，

AC

=(

2

，-

2

，0)，
则

PC • n =0 AC • n =0

，即

-2z′=0 2 x′- 2 y′=0

，令x′=1，得

n

=（1，1，0）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

3 × 2

=

3

3

，
∴二面角C-PA-B的大小为arccos

3

3

．

点评：本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求异面直线所成的角以及二面角，考查利用向量知识解决空间角问题，属于中档题．