分析 (1)利用椭圆的短轴长与离心率,求出a,b,即可求出椭圆的标准方程.
(2)验证直线的斜率不存在时,是否满足题意;设出直线的方程,联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式求出直线的斜率,即可求出直线方程.
解答 解:(1)由已知有:$2b=2\sqrt{3}\begin{array}{\;}\end{array}\right.$;$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,
得${c}^{2}=\frac{1}{4}{a}^{2}\begin{array}{\;},\end{array}\right.$$b=\sqrt{3}$(2分),
∵c2=a2-b2,∴$\frac{1}{4}{a^2}={a^2}-3$(3分)
解得:a2=4,c2=1,b2=3(5分)
∴所求椭圆标准方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$①(6分)
(2)若直线无斜率,则l方程x=-1与椭圆交于$M(-1,\frac{3}{2})\begin{array}{\;},\end{array}\right.$$N(-1,-\frac{3}{2})$,明显不符 (7分)
则设l的斜率为k,M、N的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
∵椭圆的左焦点为(-1,0),∴l的方程为y=k(x+1)②(8分)
①、②联立可得3x2+4k2(x+1)2=12(10分)
∴(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$(11分)
∴$|MN|=\sqrt{{({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}+{({y}_{1}-{y}_{2})}^{2}}=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{({x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16({k}^{2}-3)(3+4{k}^{2})}{{(3+4{k}^{2})}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{64{k}^{4}-16({k}^{2}-3)(3+4{k}^{2})}{{(3+4{k}^{2})}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{7}{2}$
∴24k2+24=21+28k2…(12分)
∴${k^2}=\frac{3}{4}$即$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…(13分)
∴l的方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…(14分)
点评 本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查设而不求,转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {6,8} | B. | {5,7} | C. | {4,6,8} | D. | {1,3,5,6,8} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $-\frac{24}{7}$ | B. | $\frac{6}{7}$ | C. | $-\frac{24}{25}$ | D. | $-\frac{4}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 25 | B. | 16 | C. | 9 | D. | 4 |
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