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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(I)若为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点的轨迹的直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线的参数方程为为参数,,且直线与曲线相交于两点,求面积的最大值.

【答案】() .() .

【解析】

(I)根据题意设出P,M的极坐标 , 由此写出 , ,又 化简整理可得的极坐标方程,进而可得解;(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆的方程,得到关于t的一元二次方程,利用韦达定理表示 ,利用代入整理求解即可。

(I)设的极坐标为的极坐标为 .由题设知

.

的极坐标方程为

因此的直角坐标方程为 .

(Ⅱ)方法一:将代入

整理得,所以

,则的面积

时,的面积取到最大值,且最大值为.

方法二:由直线的参数方程为为参数,),

化为普通方程,其中.

,消去,整理得

,则的面积

时,的面积取到最大值,且最大值为.

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