Question

（2012•泸州二模）已知函数f（x）=ax²+bx+c和函数g（x）=ln（1+x²）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）=x没有实数根，求证方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)＜e(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用求导法则求出函数g（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，分a小于等于-1，以及a大于-1小于0分别讨论导函数的正负，并利用二次函数的图象与性质，进而确定函数的单调性；
（Ⅱ）根据关于x的方程f（x）=x没有实数根，可得其判别式为0，再证明方程f（f（x））=x的判别式小于0即可；
（Ⅲ）a=-1时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，可得a=-1时，函数为减函数，故当x＞0时，g（x）＜g（0），而g（0）=0，故g（x）＜0，即ln（1+x²）＜x，所证不等式左边取为e为底数的对数，利用对数的运算性质化简，并根据ln（1+x²）＜x变形，再利用等比数列的前n项和公式化简，得出小于1，最后再根据对数的运算性质即可得证．

解答：（Ⅰ）解：g′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①当

a＜0 △≤0

，即a≤-1时，g′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴g（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
②当-1＜a＜0时，令g′（x）＞0，则ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

，
令g′（x）＜0，则ax²+2x+a＜0
∴x＜

-1+ 1-a2

a

或x＞

-1- 1-a2

a

，
∴g(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；  
综上所述，当a≤-1时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，g（x）在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减．
（Ⅱ）证明：∵关于x的方程f（x）=x没有实数根
∴ax²+bx+c=x没有实数根
∴ax²+（b-1）x+c=0没有实数根
∴△=（b-1）²-4ac＜0
∵f（f（x））=x
∴a（ax²+bx+c）²+b（ax²+bx+c）+c=x
∴[ax²+（b-1）x+c][a²x²+a（b+1）x+b+ac+1]=0
∵ax²+（b-1）x+c≠0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0
∵△=a²（b+1）²-4a²（b+ac+1）=a²[（b+1）²-4（b+ac+1）]=a²[（b-1）²-4ac-4]＜0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0无实根
∴方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=-1时，g（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由g（x）＜g（0）=0得：ln（1+x²）＜x，
∴ln[(1+

1

22

)(1+

1

42

)(1+

1

82

)…(1+

1

22n

)]=ln(1+

1

22

)+ln(1+

1

42

)+…+ln(1+

1

22n

)
＜

1

2

+

1

4

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=(1-

1

2n

)＜1=lne，
∴(1+

1

22

)(1+

1

42

)•…•(1+

1

22n

)＜e

点评：本题重点考查用导函数的正负判断函数的单调性，考查二次函数的性质，不等式的证明，函数单调性的应用，以及对数的运算性质，考查等比数列的前n项和公式，综合性较强，难度较大．