Question

已知圆E过A(-4，0)，B(2，0)，C(0，2

2

)三点．
（1）求圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（4，-5），且与圆C相交的弦长为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）设圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，根据题意建立关于a、b、r的方程组，解之即可得到所求圆的方程；
（2）设直线l方程为y+5=k（x-4），利用点到直线的距离公式和垂径定理，结合题中数据算出k的值，即可求出满足条件的直线l方程．

解答：解：（1）设圆的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圆E过A(-4，0)，B(2，0)，C(0，2

2

)三点，
∴可得

(-4-a)2+(0-b)2=r2 (2-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(2 2 -b)2=r2

，解之得

a=-1 b=0 r=3

，
∴圆的方程为（x+1）²+y²=9；
（2）由（1）得圆的圆心为E（-1，0），半径r=3，
设直线l方程为y+5=k（x-4），即kx-y-4k-5=0，
∵直线l与圆C相交的弦长为|PN|=4，
∴由垂径定理，得圆心E到l的距离d=

r2-( 1 2 |PN|)2

=

5

，
由点到直线的距离公式，可得

|-k-0-4k-5|

k2+1

=

5

，
解得k=-2或-

1

2

．
∴直线l方程为-2x-y+8-5=0或-

1

2

x-y+2-5=0，化简得直线l方程为2x+y-3=0或x+2y+6=0．

点评：本题给出经过三点的圆，求圆的方程并求满足条件的直线．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．