分析 (1)求出f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可;
(2)问题转化为f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立,求出f(x)的导数,通过讨论a的符号,求出a的范围即可.
解答 解:(1)当$a=\frac{1}{e}$时,函数$f(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{e^x}{e}$,则${f^'}(x)=\frac{1-lnx}{x^2}-\frac{e^x}{e}$,
当0<x<1时,$\frac{1-lnx}{x^2}>1$,$\frac{e^x}{e}<1$,所以f′(x)>0;
当x=1时,f′(x)=0;
当x>1时,$\frac{1-lnx}{x^2}<0$,$\frac{e^x}{e}>0$,所以f′(x)<0
所以f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,
所以最大值为f(1)=-1.
(2)f(x)在[e,+∞)上为减函数,
即f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立,
则${f^'}(x)=\frac{1-lnx}{x^2}-a{e^x}=\frac{{1-lnx-a{x^2}{e^x}}}{x^2}$.
①当a≥0时,因为x∈[e,+∞),所以1-lnx≤0,-ax2ex≤0,
所以f′(x)≤0,符合题意;
②当a<0时,f′(e)=-aee>0,
与f′(x)≤0在[e,+∞)上恒成立矛盾,不符合题意.
综合可知,a的取值范围是[0,+∞).
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 3 | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | 1 | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | p为真 | B. | ¬q为假 | C. | p∧q为真 | D. | p∨q为假 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y2=6x | B. | x2=6y | C. | y2=12x | D. | x2=12y |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{7}{2}$ | B. | $\sqrt{10}$ | C. | 4 | D. | $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ |
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