Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，0＜{a_n}≤\frac{1}{2}\\ 2{a_n}-1，\frac{1}{2}＜{a_n}＜1\end{array}$且a₁=$\frac{3}{5}$，则a₂₀₁₆=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得数列的周期性：a_n+4=a_n．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，0＜{a_n}≤\frac{1}{2}\\ 2{a_n}-1，\frac{1}{2}＜{a_n}＜1\end{array}$且a₁=$\frac{3}{5}$，
则a₂=2a₁-1=$\frac{1}{5}$，a₃=2a₂=$\frac{2}{5}$，a₄=2a₃=$\frac{4}{5}$，a₅=2a₄-1=$\frac{3}{5}$，…，
可得：a_n+4=a_n．
∴a₂₀₁₆=a_503×4+4=a₄=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了递推关系、数列的周期性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．