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对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点.已知f(x)=x2+bx+c
(1)当b=2,c=-6时,求函数f(x)的不动点;
(2)已知f(x)有两个不动点为±
2
,求函数y=f(x)的零点;
(3)在(2)的条件下,求不等式f(x)>0的解集.
分析:(1)设x为不动点,则有f(x)=x,变形为x2+x-6=0,解方程即可.
(2)根据题中条件:“f(x)有两个不动点±
2
f(x)=x有两个根±
2
”得x2+(b-1)x+c=0利用根与系数的关系得出b,c的值,最后解方程f(x)=0即可得出f(x)的零点.
(3)由题意得f(x)>0即(x+2)(x-1)>0,解之即可.
解答:解:(1)f(x)=x2+2x-6,
由f(x)=x
∴x2+x-6=0
∴(x-2)(x+3)=0
∴x=2或x=-3
∴f(x)的不动点为2或-3
(2)∵f(x)有两个不动点±
2
,即f(x)=x有两个根±
2

∴x2+(b-1)x+c=0
2
-
2
=b-1
-
2
2
=c

∴b=1,c=-2
∴f(x)=x2+x-2
令f(x)=0
即(x+2)(x-1)=0
解得x=-2或x=1
∴f(x)的零点为x=1或x=-2
(3)f(x)>0
∴(x+2)(x-1)>0
∴x>1或x<-2
∴f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞)
点评:本题主要考查的知识点是二次函数的性质,方程的解法,方程根的情况以及函数的零点.其中根据已知中的新定义,构造满足条件的方程是解答本题的关键.
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①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“稳定区间”的函数有
 
(填出所有满足条件的函数序号)

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x+2
是“科比函数”,则实数k的取值范围是
 

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f(x)=ax2+bx+1(a>0)有两个相异的不动点x1,x2
(1)若x1<1<x2,且f(x)的图象关于直线x=m对称,求证:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范围.

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(1)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求证:B=∅;
(2)设函数f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根据(1)(2)中的结论判断A=B恒成立?若能,请给出证明,若不能,请举以反例.

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对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前题条件下,设bn=-
1
an
,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010

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