Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜4）．
（Ⅰ）若f（x）的最小值为3，求a值；
（Ⅱ）求不等式f（x）≥3-x的解集．

Answer 1

（1）因为函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-a）|=|a-4|，
因为a＜4，所以当且仅当 a≤x≤4时等号成立，故|a-4|=3，即a=1．
（2）不等式f（x）≥3-x，即不等式|x-4|+|x-a|≥3-x，a＜4，
①当x＜a时，原不等式可化为 4-x+a-x≥3-x，x≤a+1．
所以，当x＜a时，原不等式成立．
②当a≤x≤4时，原不等式可化为4-x+x-a≥3-x，
即x≥a-1，所以，当a≤x≤4时，原不等式成立．
③当x＞4时，原不等式可化为 x-4+x-a≥3-x，
即x≥

a+7

3

由于a＜4时 4＞

a+7

3

．
所以，当x＞4时，原不等式成立．
综合①②③可知：不等式f（x）≥3-x的解集为R．