Question

设f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，若f（3）=5，且当x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式|f(x)|＞

15

|x|

恒成立，则a的取值范围是

a≥3

．

Answer 1

分析：构造函数g（x）=xf（x），确定函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数，且函数为偶函数，求出不等式的解集，即可得到结论．

解答：解：构造函数g（x）=xf（x），
因为当x＞0时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，
所以函数g（x）在x∈（0，+∞）上为单调递增函数；
所以不等式|f(x)|＞

15

|x|

等价于|xf（x）|＞15，即g（x）＞15或g（x）＜-15
当x＞3时，g（x）＞g（3）=3f（3）=3×5=15
又g（x）＞g（0）=0，所以g（x）＜-15这种情况不存在，不考虑
因为f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）
所以g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），所以g（x）是偶函数
故xf（x）＞15的解集为x∈（-∞，-3]∪[3，+∞）
要使x∈（-∞，-a）∪（a，+∞），a＞0时，不等式|f(x)|＞

15

|x|

恒成立，只需a≥3
故答案为：a≥3

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查解不等式，属于中档题．