设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.
分析:(1)新定义函数类型的题目,解答时要先充分理解定义才能答题,对于(1)只需按照定义作差:|f(x1)-f(x2)|,然后寻求条件:|x1+x2+k|≤1,(2)的解答稍微复杂一些,此处除了用到放缩外,还有添项减项的技巧应用即对已知条件f(0)=f(2)的充分利用.
解答:解:(1)?x
1、x
2∈(-1,1),|f(x
1)-f(x
2)|=|x
1+x
2+k|×|x
1-x
2|(1分).
若k≥0,则当x
1、
x2∈(,1)时,x
1+x
2+k>(12分),从而|f(x
1)-f(x
2)|>|x
1-x
2|(3分);
若k<0,则当x
1、
x2∈(-1,-)时,x
1+x
2+k<-1,|x
1+x
2+k|>1(4分),
从而|f(x
1)-f(x
2)|>|x
1-x
2|,所以对任意常数k,f(x)=x
2+kx+1都不是区间(-1,1)上的平缓函数(5分).
(2)若x
1、x
2∈[0,2],①当|x
1-x
2|≤1时,|f(x
1)-f(x
2)|≤|x
1-x
2|≤1(6分);
②当|x
1-x
2|>1时,不妨设0≤x
1<x
2≤2,根据f(x)的周期性,f(0)=f(2)(7分),
|f(x
1)-f(x
2)|=|f(x
1)-f(0)+f(2)-f(x
2)|≤|f(x
1)-f(0)|+|f(2)-f(x
2)|
≤|x
1|+|2-x
2|=x
1+2-x
2=2-(x
2-x
1)<1(11分),
所以对?x
1、x
2∈[0,2],都有|f(x
1)-f(x
2)|≤1(12分).
对?x
1、x
2∈R,根据f(x)的周期性(且T=2),存在p
1、p
2∈[0,2],
使f(x
1)=f(p
1)、f(x
2)=f(p
2),从而|f(x
1)-f(x
2)|=|f(p
1)-f(p
2)|≤1(17分).
点评:本题抽象函数、新定义函数类型的概念,不等式的性质,放缩法的技巧,对于新定义类型问题,在解答时要先充分理解定义才能答题,避免盲目下笔,遇到困难才来重头读题,费时费力,另外要在充分抓住定义的基础上,对式子的处理要灵活,各个式子的内在联系要充分挖掘出来,可现有结论向上追溯,看看需要哪些条件才能得出结果,再来寻求转化取得这些条件.属中档题.