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设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b>a)上的函数,若对?x1、x2∈(a,b),都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数.
(1)试证明对?k∈R3,f(x)=x2+kx+14都不是区间(-1,1)5上的平缓函数;
(2)若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数,试证明对?x1、x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤1.
分析:(1)新定义函数类型的题目,解答时要先充分理解定义才能答题,对于(1)只需按照定义作差:|f(x1)-f(x2)|,然后寻求条件:|x1+x2+k|≤1,(2)的解答稍微复杂一些,此处除了用到放缩外,还有添项减项的技巧应用即对已知条件f(0)=f(2)的充分利用.
解答:解:(1)?x1、x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|=|x1+x2+k|×|x1-x2|(1分).
若k≥0,则当x1x2∈(
1
2
,1)
时,x1+x2+k>(12分),从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|(3分);
若k<0,则当x1x2∈(-1,-
1
2
)
时,x1+x2+k<-1,|x1+x2+k|>1(4分),
从而|f(x1)-f(x2)|>|x1-x2|,所以对任意常数k,f(x)=x2+kx+1都不是区间(-1,1)上的平缓函数(5分).
(2)若x1、x2∈[0,2],①当|x1-x2|≤1时,|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|≤1(6分);
②当|x1-x2|>1时,不妨设0≤x1<x2≤2,根据f(x)的周期性,f(0)=f(2)(7分),
|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(2)-f(x2)|≤|f(x1)-f(0)|+|f(2)-f(x2)|
≤|x1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-(x2-x1)<1(11分),
所以对?x1、x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤1(12分).
对?x1、x2∈R,根据f(x)的周期性(且T=2),存在p1、p2∈[0,2],
使f(x1)=f(p1)、f(x2)=f(p2),从而|f(x1)-f(x2)|=|f(p1)-f(p2)|≤1(17分).
点评:本题抽象函数、新定义函数类型的概念,不等式的性质,放缩法的技巧,对于新定义类型问题,在解答时要先充分理解定义才能答题,避免盲目下笔,遇到困难才来重头读题,费时费力,另外要在充分抓住定义的基础上,对式子的处理要灵活,各个式子的内在联系要充分挖掘出来,可现有结论向上追溯,看看需要哪些条件才能得出结果,再来寻求转化取得这些条件.属中档题.
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设y=f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于函数y=f(x)的判断:
①y=f(x)是周期函数;
②y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
③y=f(x)在[0,1]上是增函数;
f(
12
)=0

其中正确判断的序号是
 
.(把你认为正确判断的序号都填上)

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设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列三个条件:
(1)y=f(x)是偶函数;
(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称;
(3)T=2为y=f(x)的一个周期.
如果将上面(1)、(2)、(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中真命题的个数有
3
3
个.

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(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,请举一例:若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2003•北京)设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件,①f(-1)=f(1)=0,②对任意的u、v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|
(Ⅰ)证明:对任意x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x
(Ⅱ)证明:对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤1
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)且使得
|f(u)-f(v)|<|u-v|uv∈[0,
1
2
]
|f(u)-f(v)|=|u-v|uv∈[
1
2
,1]
;若存在请举一例,若不存在,请说明理由.

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