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为响应政府“还家乡青山绿水,走生态发展之路”的号召,某县两村F1、F2准备种植围绕村庄的防护林,如图,在与两个村同一条直线上有两个机井A1,A2,两村在两个机井之间,每个村到两机井的距离都分别为3千米与1千米,根据现有地理特点,两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离.
(Ⅰ)请你利用所学知识,建立适当的平面直角坐标系,求出种植点所在的曲线方程;
(Ⅱ)已知过F2村有一条小路l,且斜率为1,试求在小路l上的两个种植点间距离.
(Ⅰ)以A1A2所在直线为x轴,线段A1A2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
∵两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离,两机井间距离为10千米
∴由椭圆的定义可知,种植点所在的曲线为以A1A2为长轴,F1、F2为焦点的椭圆
设椭圆方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),则a+c=3,a-c=1,所以a=2,c=1,b=
a2-c2
=
3

∴种植点所在的曲线方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由题意,小路l所在直线方程为:y=x-1,代入椭圆方程,消去y可得7x2-8x-8=0
∴x=
4+6
2
7
或x=
4-6
2
7

∴y=
-3+6
2
7
或y=
-3-6
2
7

∴两点之间距离为
(
4+6
2
7
-
4-6
2
7
)2+(
-3+6
2
7
-
-3-6
2
7
)2
=
24
7

即在小路l上的两个种植点间距离为
24
7
千米.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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6
6

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