Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-

7

7

，0)，B(

7

7

，0)，两动点M，N满足

MA

+

MB

+

MC

=

0

，|

NC

|=

7

|

NA

|=

7

|

NB

|，向量

MN

与

AB

共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，1）的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求

PE

•

PF

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设（x，y），由

MA

+

MB

+

MC

=0，知M（

x

3

，

y

3

）．由|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

与

AB

共线，知N在边AB的中垂线上，由此能求出△ABC的顶点C的轨迹方程．
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，代入x²-

y2

3

=1，得 （3-k²）x²-2kx-4=0（x≠±1）．再由根的判别式和韦达定理能求出

PE

•

PF

的取值范围．

解答：解：（1）设（x，y），
∵

MA

+

MB

+

MC

=0，
∴M（

x

3

，

y

3

）．
又|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

与

AB

共线，
∴N在边AB的中垂线上，
∴N（0，

y

3

）．
而|

NC

|=

7

|

NA

|，
∴x²-

y2

3

=1（y≠0）．------（6分）
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
过点P（0，1）的直线方程为y=kx+1，
代入x²-

y2

3

=1
得 （3-k²）x²-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k²+16（3-k²）＞0，
k²＜4k∈(-2，2)(k≠±

3

，±1)．------------------------------（4分）
而x₁，x₂是方程的两根，
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-4

3-k2

．
∴

PE

•

PF

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=x₁x₂+kx₁•kx₂
=

-4(1+k2)

3-k2

--------（2分）
即

PE

•

PF

=4（1+

4

k2-3

） ∈(-∞，-4)∪(-4，-

4

3

]∪(20，+∞)
故

PE

•

PF

的取值范围为(-∞，-4)∪(-4，-

4

3

]∪(20，+∞)---------------（4分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．