Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F(

2

，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用F(

2

，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求得几何量，即可求得椭圆方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F(

2

，0)到直线AB的距离d=

| 2 +m|

2

，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．

解答：解：（1）由题意

c= 2 b2 a =1 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 2

，∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．   …（4分）
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，…（5分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（6-m²）＞0，∴|m|＜

6

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）P（x₀，y₀），由韦达定理得x0=

x1+x2

2

=

-2km

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

．
由点P在直线x+2y=0上，得k=1．                            …（7分）
所以|AB|=

2

×

2 2 × 6-m2

3

=

4 6-m2

3

．
又点F(

2

，0)到直线AB的距离d=

| 2 +m|

2

．
∴△FAB的面积为

1

2

|AB|d=

1

2

×

4 6-m2

3

×

| 2 +m|

2

=

2

3

|

2

+m|

6-m2

（|m|＜

6

，m≠0）．…（10分）
设u（m）=（6-m²）（m+

2

）²（|m|＜

6

，m≠0），则令u′（m）=-2（2m+3

2

）（m+

2

）（m-

2

）=0，可得m=-

3 2

2

或m=-

2

或m=

2

；
当-

6

＜m＜-

3 2

2

时，u′（m）＞0；当-

3 2

2

＜m＜-

2

时，u′（m）＜0；
当-

2

＜m＜

2

时，u′（m）＞0；当

2

＜m＜

6

时，u′（m）＜0
又u（-

3 2

2

）=

3

4

，u(

2

)=32
所以当m=

2

时，△FAB的面积取最大值

8

3

…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用导数的方法求函数的最值，属于中档题．