Question

（2013•揭阳二模）如图已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为

π

3

的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圆M和抛物线C的方程；
（2）试探究抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x-1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用抛物线的定义可知：|OD|=

p

2

；直角三角形的边角关系可得

p

2

=|OA|cos60°，由垂径定理可得|OE|=

|OB|

2

，可得圆心与半径，根据圆的标准方程即可得出；
（2）利用“点差法”及由PQ⊥m?k_PQ•k=-1，可得PQ中点D（x₀，y₀）的纵坐标y₀=-2k，又D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上，可得x₀=-1＜0，点D（x₀，y₀）在抛物线外．即可判断出．

解答：解：（1）如图所示，设准线l与x轴相较于点D，则|OD|=

p

2

．
在Rt△OAD中，

p

2

=|OA|cos60°=2×

1

2

=1，即p=2，
∴所求抛物线的方程为y²=4x．
∴设圆的半径为r，作ME⊥t，垂足为E，由垂径定理可得|OE|=

|OB|

2

，在Rt△OME中，r=

OB

2

•

1

cos60°

=2，
∴圆的方程为（x-2）²+y²=4．
（2）设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）关于直线m对称，且PQ中点D（x₀，y₀）．
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在抛物线C上，∴

y

2 3

=4x3， 

y

2 4

=4x4
两式相减得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）．
好∵PQ⊥m，∴k_PQ•k=-1，好
∴y3+y4=4•

x3-x4

y3-y4

=

4

kPQ

=-4k，∴y₀=-2k．
∵D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x₀=-1＜0，点D（x₀，y₀）在抛物线外．
∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．

点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、垂径定理、抛物线的定义、圆的标准方程、轴对称的性质和相互垂直的直线的斜率之间的关系设解题的关键．