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已知椭圆C： $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，下顶点为A，直线AF₁与椭圆的另一个交点为B，△ABF₂的周长为8，直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3．
（I）求椭圆C的方程；
（II）若过点P（1，3）的动直线l与圆O相交于不同的两点C，D，在线段CD上取一点Q满足： $数学公式$ ．求证：点Q总在某定直线上．

（I）解：∵△ABF₂的周长为8，∴4a=8，∴a=2
∵F₁（-c，0），A（0，-b），∴直线AF₁的方程为 $\text{[math]}$ ，即bx+cy+bc=0
∵直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，O到直线AF₁的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴b²c²+9=4b²
∵c²=4-b²，∴b²=3
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II）证明：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），
∵ $\text{[math]}$ ，∴（1-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-1，y₂-3）
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
同理 $\text{[math]}$
（1）×（3），得 $\text{[math]}$ =（1-λ²）x（5）
（2）×（4），得 $\text{[math]}$ =3（1-λ²）y（6）
（5）+（6），得 $\text{[math]}$ =（1-λ²）（x+3y）
∵C，D在圆O上，∴ $\text{[math]}$
∴3（1-λ²）=（1-λ²）（x+3y）
∵λ≠±1，∴x+3y=3
∴点Q总在定直线x+3y-3=0上．
分析：（I）利用△ABF₂的周长为8，可求a的值，确定直线AF₁的方程，利用直线AF₁被圆O：x²+y²=b²截得的弦长为3，即可确定几何量，从而可得椭圆C的方程；
（II）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），Q（x，y），利用 $\text{[math]}$ 且λ≠±1，结合C、D在圆O上，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案

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已知椭圆C：

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知一直线l过椭圆C的右焦点F₂，交椭圆于点A、B．
（ⅰ）若满足

（O为坐标原点），求△AOB的面积；
（ⅱ）当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在一点P，使得直线PA、PB的倾斜角互为补角？若存在，求出P坐标；若不存在，请说明理由．

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