Question

已知△ABC的顶点A（0，1），AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0，AC边上的高BH所在直线的方程为y=0．
（1）求△ABC的顶点B、C的坐标；
（2）若圆M经过不同的三点A、B、P（m，0），且斜率为1的直线与圆M相切于点P，求圆M的方程；
（3）问圆M是否存在斜率为1的直线l，使l被圆M截得的弦为DE，以DE为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AC边上的BH所在的直线方程为y=0，即为x轴，根据两直线垂直时满足的关系，得到AC所在直线应为y轴，即x=0，与中线CD所在的直线方程联立组成方程组，求出方程组的解集得到C的坐标，由B在x轴上，设出B的坐标为（b，0），利用中点坐标公式表示出AB的中点坐标，代入中线CD所在直线的方程，求出b的值，确定出B的坐标；
（2）根据垂径定理得到弦AB的垂直平分线过圆心M，根据AB的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出弦AB垂直平分线的斜率，再由AB中点坐标，写出弦AB垂直平分线的方程，又圆M与直线x-y+3=0相切，由切点P以及求出的斜率写出此直线的方程，与弦AB垂直平分线的方程联立组成方程组，求出方程组的解可得出圆心M的坐标，再由A和M的坐标，利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆M的半径，由圆心和半径写出圆M的标准方程，化简后即可得到圆M的方程．
（3）设出直线方程利用直线与圆的方程联立方程组，通过判别式与韦达定理，利用DE为直径的圆经过原点．得到x₁x₂+y₁y₂=0，求出k的值，然后求出直线方程．

解答：解：（1）∵AC边上的高BH所在直线的方程为y=0，即为x轴，
∴直线AC的方程为y轴，即为直线x=0，又直线CD：2x-2y-1=0，
联立得：

x=0 2x-2y-1=0

解得：

x=0 y=- 1 2

∴C（0，-

1

2

），
设B（b，0），又A（0，1），
∴AB的中点D（

b

2

，

1

2

），
把D坐标代入方程2x-2y-1=0得：b-1-1=0，解得：b=2，
∴B（2，0）；（4分）
（2）由A（0，1），B（2，0）可得：
线段AB中点坐标为（1，

1

2

），k_AB=-

1

2

，
∴弦AB垂直平分线的斜率为2，
则圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0，①
又圆M与x-y+3=0相切，切点为（-3，0），且x-y+3=0的斜率为1，
∴圆心所在直线方程的斜率为-1，
则圆心所在直线为y-0=-x+3），即y+x+3=0，②
联立①②，

4x-2y-3=0 y+x+3=0

解得：

x=- 1 2 y=- 5 2

，∴M（-

1

2

，-

5

2

），（6分）
∴半径|MA|=

1 4 + 49 4

=

50

2

，所以所求圆方程为（x+

1

2

）²+（y+

5

2

）²=

50

4

，
即x²+y²+x+5y-6=0．  （8分）
（3）假设存在直线l，不妨设所求直线l方程为y=x+k，D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）
联立方程

y=x+k x2+y2+x+5y-6=0

得：2x²+（2k+6）x+k²+5k-6=0…（9分）
又△=（2k+6）²-8（k²+5k-6）＞0得-7＜k＜3…（10分）
x1x2=

k2+5k-6

2

，x₁+x₂=-（k+3），y1y2=x1x2+k(x1+x2)+k2=

k2-k-6

2

…（11分）
依题意得   x₁x₂+y₁y₂=0…（12分）
故k²+2k-6=0解得：k1=-1+

7

，k2=-1-

7

…（13分）
经验证，满足题意．
故所求直线方程为：y=x-1+

7

或y=x-1-

7

…（14分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：线段中点坐标公式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，切线的性质，垂径定理，以及圆的标准方程，是一道综合性较强的常考题．