Question

4．已知函数f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$．
（1）判断函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上的单调性，并给予证明；
（2）设g（x）=tx+$\frac{{x}^{2}}{2x+1}$，当x∈（$\frac{1}{2}$，3]时，g（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上递减．可由函数的导数，判断符号即可得到；
（2）由题意可得t＞-$\frac{x}{2x+1}$在x∈（$\frac{1}{2}$，3]时恒成立，再由函数f（x）的单调性，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上递减．
理由：f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$的导数为f′（x）=-$\frac{1}{（2x+1）^{2}}$＜0，
则函数f（x）在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上为减函数；
（2）当x∈（$\frac{1}{2}$，3]时，g（x）＞0恒成立，即为
t＞-$\frac{x}{2x+1}$在x∈（$\frac{1}{2}$，3]时恒成立，
由f（x）=-$\frac{x}{2x+1}$在（$\frac{1}{2}$，3]递减，可得
f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
即有t≥-$\frac{1}{4}$，
则实数t的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，属于中档题．