【题目】已知关于x的一元二次不等式mx2﹣(1﹣m)x+m≥0的解集为R,则实数m的取值范围是 .
【答案】[ ,+∞)
【解析】解:当m=0时,不等式可化为﹣x≥0,解得x≤0,显然不恒成立,
当m≠0时,不等式mx2﹣(1﹣m)x+m≥0的解集为R,
则对应的二次函数y=mx2﹣(1﹣m)x+m的图象应开口朝上,且与x轴没有交点,
故 ,解得m≥ ,
综上所述,实数m的取值范围是[ ,+∞),
所以答案是:[ ,+∞).
【考点精析】利用解一元二次不等式对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求一元二次不等式解集的步骤:一化:化二次项前的系数为正数;二判:判断对应方程的根;三求:求对应方程的根;四画:画出对应函数的图象;五解集:根据图象写出不等式的解集;规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.
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【题目】若实数x、y、m满足|x﹣m|>|y﹣m|,则称x比y远离m.
(1)若x2﹣1比3远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab .
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【题目】已知抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为.
(1)若,过点, 的直线与抛物线相交于另一点,求的值;
(2)若直线与抛物线相交于两点,与圆相交于两点, 为坐标原点, ,试问:是否存在实数,使得的长为定值?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000(单位:元)十个档次,某社区随机抽取了50名村民,按缴费在100:500元,600:1000元,以及年龄在20:39岁,40:59岁之间进行了统计,相关数据如下:
100﹣500元 | 600﹣1000 | 总计 | |
20﹣39 | 10 | 6 | 16 |
40﹣59 | 15 | 19 | 34 |
总计 | 25 | 25 | 50 |
(1)用分层抽样的方法在缴费100:500元之间的村民中随机抽取5人,则年龄在20:39岁之间应抽取几人?
(2)在缴费100:500元之间抽取的5人中,随机选取2人进行到户走访,求这2人的年龄都在40:59岁之间的概率.
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是各项为正的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an+bn} 的前n项和Sn .
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【题目】已知几何体P﹣ABCD如图,面ABCD为矩形,面ABCD⊥面PAB,且面PAB为正三角形,若AB=2,AD=1,E、F分别为AC、BP中点,
(Ⅰ)求证:EF∥面PCD;
(Ⅱ)求直线BP与面PAC所成角的正弦值.
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【题目】已知向量 与 的夹角为120°,且| |=4,| |=2,
(1)求 ;
(2)求|3 +5 |;
(3)若向量 +k 与5 +2 垂直,求实数k的值.
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