试题分析:(1)要证明AC
1∥平面B
1CD,根据线面的判定定理,只要转换证明DE//AC
1即可;
(2)可以以C为原点建立空间直角坐标系,求出平面BCD的法向量与平面B
1CD的法向量,然后利用向量夹角公式即可.
试题解析:解:(1)证明:连结BC
1,交B
1C于E,连接DE.
因为直三棱柱ABC-A
1B
1C
1,D是AB中点,
所以侧面BB
1C
1C为矩形,DE为△ABC
1的中位线,所以DE//AC
1.
因为DE
平面B
1CD,AC
1平面B
1CD,所以AC
1∥平面B
1CD.6分
(2)由(1)知AC⊥BC,如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.
则B(3,0,0),A(0,4,0),A1(0,4,4),B1(3,0,4).设D(a,b,0)(
,
),因为点D在线段AB上,且
,即
.
所以
,
,
,
,
.
平面BCD的法向量为
.设平面B
1CD的法向量为
,
由
,
,得
,
所以
,
,
.所以
.
所以二面角
的余弦值为
.12分