Question

已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）已知数列{c_n}满足c_n=（n∈N^*），试建立数列{c_n}的递推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，解得a=-2，b=3，a₂=-12．由a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），得到b_n+1=a_n+2-3a_n+1=3b_n（n∈N^*）．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由，得．由此能够推导出数列{c_n}的递推公式．
（3）由c_n=，（n∈N^*），得=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．由此利用错位相减法能够求出数列{a_n}的前n项和．
解答：（1）证明：∵a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=-12．
∵a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n（n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴数列{b_n}是公比为3，首项为b₁的等比数列．
（2）解：由（1）得．
于是，有（n∈N^*），
即．
又，（n∈N^*），则c_n+1-c_n=1，n∈N^*．
因此，数列{c_n}的递推公式是．
（3）解：由（2）可知，数列{c_n}是公差为1，首项为的等差数列，
于是c_n=，（n∈N^*）．
故=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．
因此，S_n=a₁+a₂+…+a_n
=1+4•3+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1，
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
将上述两个等式相减，
得-2=1+-（3n-2）•3ⁿ，
∴2S_n=n•3ⁿ⁺¹-+．
所以-+，（n∈N^*）．
点评：本题考查等比数列的证明，数列的递推公式的推导，数列前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．