Question

设函数f(x)=

16-4x

的值域为A，不等式lg（x-1）＜1的解集为B．
（1）求A∪B；
（2）若集合M={x|a-1＜x＜a+1}，且（A∩B）∩M=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由负数没有平方根得到0≤16-4^x＜16，开方即可求出函数f（x）的值域，确定出集合A；把不等式右边的1变形后，由对数函数底数为10大于1得到对数函数为增函数，根据真数大于0且对数函数为增函数列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可确定出集合B，
（1）根据确定出的集合A和B，求出两集合的并集即可；
（2）根据确定出的集合A和B，先求出两集合的交集，然后由（A∩B）∩M=∅，列出关于a的不等式，分别求出解集即可得到a的范围．

解答：解：由题意得：0≤16-4^x＜16，
∴0≤

16-4x

＜

16

=4，
即函数f（x）的值域为[0，4），
∴A=[0，4）；
由不等式lg（x-1）＜1变形得：lg（x-1）＜lg10，
根据对数函数为增函数得：0＜x-1＜10，
解得1＜x＜11，
∴B=（1，11），
（1）∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∪B=[0，11）；
（2））∵A=[0，4），B=（1，11），
∴A∩B=（1，4），
由（A∩B）∩M=∅可知：a-1≥4或a+1≤1，
∴a≤0或a≥5．

点评：此题属于以函数的值域、对数函数的单调性及特殊点为平台，考查了交集及并集的运算，同时考查了集合的包含关系判断及应用，以及空集的定义，其中确定出集合A和B是解本题的关键．