Question

（2006•浦东新区模拟）（1）已知函数f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，试求a的取值范围；
②写出一组数a，x₀（x₀≠3，保留4位有效数字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）若曲线y=x+

p

x

（p≠0）上存在两个不同点关于直线y=x对称，求实数p的取值范围；
（3）当0＜a＜1时，就函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点情况提出你的问题，并加以解决．（说明：①函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，

1

e

]上单调递减，在区间[

1

e

，1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分．）

Answer 1

分析：（1）①根据f（3）＜0，a＞1构造不等式组，解不等式组，可得a的取值范围；
②由①中结论，可得a取（1，1.445）中的任意值都可以，进而给出合适的x₀，即可得到答案．
（2）设曲线y=x+

p

x

上两个对称点为（m，n），（n，m），可得p=-2m²，进而得到实数p的取值范围；
（3）提出的问题是：当a∈（0，e^-e）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有3个交点；当a∈[e^-e，1）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有1个交点，进而根据（1）（2）的结论可进行推导论证．

解答：解：（1）①

f(3)＜0 a＞1

⇒

a3-3＜0 a＞1

⇒1＜a＜

3	3

…（4分）
②当a=1.1，x₀=2时，f（x₀）＜0成立
注：a取（1，1.445）中的任意值都可以，相应的x₀均给分…（6分）
（2）设曲线y=x+

p

x

上两个对称点为（m，n），（n，m），
于是

m+ p m =n n+ p n =m

…（9分）
m+

p

m

+

p

m+ p m

=m(p≠0)⇒p=-2m2…（11分）
所以p＜0；…（12分）
（3）提出的问题是：当a∈（0，e^-e）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有3个交点；当a∈[e^-e，1）时，函数y=a^x与y=log_ax的图象有1个交点．…（14分）
问题解决如下：显然，当0＜a＜1时，函数y=a^x与y=log_ax的图象在直线y=x上有一个交点．…（15分）
若曲线y=a^x上有两个点（m，n），（n，m）关于直线y=x对称，则

n=am m=an

⇒a=n

1

m

=m

1

n

⇒lna=

1

m

lnn=

1

n

lnm⇒mnlna=nlnn=mlnm，
即m，n是函数y=xlnx（0＜x＜1）与直线y=c（c为常数）的交点的横坐标．
因为函数f（x）=xlnx有如下性质：在区间(0，

1

e

]上单调递减，在区间[

1

e

，1)上单调递增．
于是x=

1

e

时f（x）=xlnx取得最小值-

1

e

，即-

1

e

≤xlnx＜0，由其图象可得到，当c∈(-

1

e

，0)时，m，n成对出现，且

1

m

lnn=

1

n

lnm∈(-∞，-e)．…（18分）
当lna＜-e，即a∈（0，e^-e）时，点（m，n），（n，m）存在，即函数y=a^x与y=log_ax的图象有3个交点；
当lna≥-e，即a∈[e^-e，1）时，点（m，n），（n，m）不存在，函数y=a^x与y=log_ax的图象只有1个交点．…（20分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，反函数，具有相当的主观性，难度也比较大．