分析 (1)存在E为AP的三等分点且AE=2EP,根据线面垂直的判定定理即可证明CF⊥平面B1DF;
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,即可求二面角P-BD-O的余弦值.
解答 解:(1)存在E为AP的三等分点且AE=2EP,
∵,△ABC是边长为2的等边三角形,O为它的中心,
∴BO⊥AC,
连接AO延长BC与F,连接PF,
F为BC的中点,AO=2OF,
∵PB=PC,∴PF⊥BC,
∵面PBC⊥平面ABC,
∴PF⊥平面ABC,即PF⊥AC,
在边AP上取点E,使AE=2EP,则$\frac{AE}{EP}=\frac{AO}{OF}$,
∴EO∥PF,EO⊥AC,
∵EO∩BO=O,
∴AC⊥平面BOE,
∴存在E为AP的三等分点且AE=2EP.
(2)取BC的中点F,连接PF,
∵PB=PC,∴PF⊥BC,
∵平面PBC⊥平面ABC,∴PF⊥平面ABC,
∵△ABC为等边三角形,
∴FA,FB,FP两两垂直,
建立以F为坐标原点,FA,FB,FC分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
∵正三角形ABC的边长为2,PB=PC=$\sqrt{2}$,
∴PF=1,
则P(0,0,1),C(0,-1,0),D(0,-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),O($\frac{\sqrt{3}}{3}$,0,0),B(0,1,0),
则$\overrightarrow{BO}$=($\frac{\sqrt{3}}{3}$,-1,0),$\overrightarrow{BD}$=(0,-$\frac{3}{2}$,$\frac{1}{2}$).
设平面DOB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BO}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-y=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BD}$=-$\frac{3}{2}$y+$\frac{1}{2}$z=0.
令y=1,则x=$\sqrt{3}$,z=3,
则$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,1,3),
由题意得平面PBD的法向量为$\overrightarrow{m}$=(1,0,0),
则cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\sqrt{39}}{13}$,
∵二面角P-BD-O为钝二面角,
∴二面角P-BD-O的余弦值为-$\frac{\sqrt{39}}{13}$.
点评 本题主要考查空间线面垂直的判断以及二面角的求解,利用线面垂直的判定定理以及二面角的定义是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β | B. | 若α∥β,m?α,n?α,则m∥n | ||
C. | 若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n | D. | 若α∩β=m,n∥m,则n∥α,且n∥β |
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A. | f′(1) | B. | $\frac{1}{3}$f′(1) | C. | 不存在 | D. | 以上都不对 |
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