Question

设命题P：复数z=(

1-i

1+i

)2-a(1-2i)+i对应的点在第二象限；
命题q：不等式|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立；
如果“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：把复数z化简成a+bi（a，b∈R）的形式，由其对应的点在第二象限，即实部小于0且虚部大于0求出a的范围；不等式
|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立，即|a-1|≥1恒成立求出a的范围，最后根据“p且q”为假命题，“p或q”为真命题分类取交集求得实数a的取值范围．

解答：解：由已知得：若命题P为真，
则复数z=(

1-i

1+i

)2-a(1-2i)+i=(

(1-i)2

2

)2-a+2ai+i=-1-a+（2a+1）i对应的点在第二象限，
即：

-1-a＜0 2a+1＞0

，解得：a＞-

1

2

；
由不等式|a-1|≥sinx对于x∈R恒成立，
则|a-1|≥1恒成立，
若命题q为真，则|a-1|≥1，即：a≥2或a≤0．
∵“p且q”为假命题，“p或q”为真命题
∴命题p真q假或命题p假q真
∴

a＜- 1 2 0＜a＜2

，则：0＜a＜2；或

a≤- 1 2 a≥2或a≤0

，则a≤-

1

2

．
∴所求实数a的取值范围为（-∞，-

1

2

]∪（0，2）．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，考查了复合命题的真假判断，命题p与命题q中只要有一个为假命题，则“p且q”为假命题，只要有一个为真命题，则“p或q”为真命题，此题是中档题．