Question

已知函数f（x）=|log_a|x-1||（a＞0，a≠1），若x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），则

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、随a值变化

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，g（x）的图象关于直线x=1对称，由已知条件推导出x₁+x₄=2，x₂+x₃+=2．再由log_ax₁=-log_ax₂，log_ax₃=-log_ax₄，从而求得

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

的值．

解答：解：设g（x）=|log_a|x||，则g（x）为偶函数，
图象关于y轴对称，
而函数f（x）=|log_a|x-1||是把g（x）的图象向右平移
一个单位得到的，
故g（x）的图象关于直线x=1对称．
∵x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），
∴x₁+x₄=2，x₂+x₃=2．
再由函数f（x）的图象特征可得，log_ax₁=-log_ax₂，
log_ax₃=-log_ax₄，
∴（x₁-1）（x₂-1）=1，得x₁x₂=x₁+x₂，
得

1

x1

+

1

x2

=1，同理可得

1

x3

+

1

x4

=1，
∴

1

x1

+

1

x2

+

1

x3

+

1

x4

=2．
故选：A．

点评：本题考查函数零点和方程根的关系，根据函数的解析式求得函数的对称性是解题的关键，属中档题．