Question

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，又y=(x1+x2)2-2m-2．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求y=f（m）的解析式及最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据x₁，x₂是x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，可得△=4（m-1）²-4（m+1）≥0，由此可求m的取值范围；
（Ⅱ）利用韦达定理，化简函数，即可得到y=f（m）的解析式，利用配方法可求函数的最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵x₁，x₂是x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，
∴△=4（m-1）²-4（m+1）≥0．
∴m²-3m≥0
∴m≤0或m≥3．…（4分）
（Ⅱ）又∵x₁+x₂=2（m-1），∴y=f(m)=(x1+x2)2-2(m+1)=4(m-1)2-2(m+1)．
即y=f（m）=4m²-10m+2（m≤0或m≥3）．
∵f（m）=4m²-10m+2=4(m-

5

4

)2-

17

4

，m≤0或m≥3
∴y_min=f（0）=2．…（8分）

点评：本题重点考查方程有实根的条件，考查韦达定理的运用，考查配方法求函数的最值，有综合性．