Question

1．设已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（1）求证：不论m为何值，△ABC有一个顶点为定点；
（2）当m为何值时，△ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）联立方程得出l₁，l₃交于A（-1，0），l₂，l₃交于B（0，m+1）从而可以证明结论．
（2）首先根据条件得出角C为直角，从而得出S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|，再利用点到直线的距离公式得出BC，AC，然后利用均值不等式求出，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$的最值，即可得出结果．

解答 （1）证明：根据题意得 l₁，l₃交于A（-1，0）l₂，l₃交于B（0，m+1）
∴不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点（-1，0）
（2）解：从条件中可以看出l₁、l₂垂直
∴角C为直角，
∴S=$\frac{1}{2}$|AC|•|BC|
|BC|等于点（0，m+1）到l₁的距离d=$\frac{|-m-1+m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$
|AC|等于（-1，0）到l₂的距离d=$\frac{{m}^{2}+m+1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$
S=$\frac{1}{2}$×$\frac{{m}^{2}+m+1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$[1+$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$]
当m＞0时，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$有最大值$\frac{1}{2}$
同理，当m＜0时，$\frac{1}{m+\frac{1}{m}}$有最小-$\frac{1}{2}$
∴m=1时S取最大值为$\frac{3}{4}$，m=-1时S取最小值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了两条直线的交点坐标以及基本不等式的最值问题，此题有一定难度，属于中档题．