Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）对（1）中的椭圆C，直线y=x+1与C交于P、Q两点，求|PQ|的值；
（3）设B为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①

π

6

≤θ≤

π

4

；②a²+b²=2a²b²．求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件列出关于a²，b²，c²的方程，求出a²，b²，c²即可得到椭圆方程；
（2）把直线方程与椭圆方程联立得到关于P、Q两点坐标之间的关系，再结合两点间的距离公式即可求|PQ|的值；
（3）先根据①知

1

2

≤

b

a

≤

2

2

，再结合②整理去掉b即可求出椭圆长轴的取值范围（注意长轴的长是指2a）．

解答：（本题满分（16分），第1题（4分），第2题（6分），第3题6分）
解：（1）由已知，a²=b²+1，且2b²=a²+1，…（2分）
解得a²=3，b²=2，所以椭圆C的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）将y=x+1代入椭圆C的方程，得

x2

3

+

(x+1)2

2

=1，化简得，5x²+6x-3=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

6

5

，x1x2=-

3

5

，…（6分）
所以，|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（x₁-x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=2•(

36

25

+

12

5

)=

192

25

，
所以|PQ|=

8 3

5

．…（10分）
（3）由①知，

1

2

≤sinθ≤

2

2

，即

1

2

≤

b

a

≤

2

2

，…（11分）
由②得，b2=

a2

2a2-1

，而

1

4

≤

b2

a2

≤

1

2

，即

1

4

≤

1

2a2-1

≤

1

2

，…（13分）
解得

6

2

≤a≤

10

2

，…（15分）
所以，椭圆长轴的取值范围是[

6

，

10

]．…（16分）

点评：本题主要考查圆锥曲线与数列，两点间距离公式以及解析几何的综合．