Question

已知f（x）在（-1，1）上有定义f(

1

2

)=1，且满足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，对数列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

x 2 n

（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（x_n）的表达式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,抽象函数及其应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过已知条件，利用x=y以及x=0，推出f（x）在（-1，1）上满足奇函数的定义，得到结果；
（2）利用已知条件，推出f（x_n+1）=2f（x_n）得到数列是等比数列，然后求解函数的解析式．

解答： 解：（1）证明：∵x．y∈（-1.1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，
当x=y时，可得f（0）=0，
当x=0时f(0)-f(y)=f(

0-y

1-0×y

)=f(-y)，
∴f（-y）=-f（y）∴f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）∵f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

)
=f（x_n）-f（-x_n）=2f（x_n），
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2又f(x1)=f(

1

2

)=1，
∴{f（x_n）}为等比数列，其通项公式为f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．

点评：本题考查数列与函数相结合，等比数列的判断数列的递推关系式的应用，考查计算能力．