Question

已知关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素．
（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况

解答：解：（1）当k=0时，A=（-∞，4）；
当k＞0且k≠2时，4＜k+

4

k

，A=(-∞，4)∪(k+

4

k

，+∞)；
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，k+

4

k

＜4，A=(k+

4

k

，4)．
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为k+

4

k

≤-4，当且仅当k=-2时取等号，
所以当k=-2时，集合B的元素个数最少．
此时A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．

点评：本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容．