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17.已知某几何体如图所示,若四边形ADMN为矩形,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,平面ADNM⊥平面ABCD,E为AB中点,AD=2,AM=1.
(1)求证:AN∥平面MEC;
(2)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$?若存在,求出线段AP的长;若不存在,请说明理由.

分析 (1)连接MC交BN于F,连结EF,由已知得ABCD是平行四边形,从而EF∥AN,由此能证明AN∥平面MEC.
(2)以D为原点,DE为x轴,DC为y轴,DN为z轴,建立空间直角坐标系由D-xyz,利用向量法能求出在线段 AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$,并能求出|AP|长.

解答 证明:(1)连接MC交BN于F,连结EF,
由已知可得ABCD是平行四边形,∴F为BN的中点,
由E的AB中点得:EF∥AN,…(2分)
∵AN?平面MEC,EF?平面MEC,
∴AN∥平面MEC.…(4分)
解:(2)由题意,以D为原点,DE为x轴,DC为y轴,DN为z轴,
如图建立空间直角坐标系由D-xyz,
则$D(0,0,0),E(\sqrt{3},0,0)$,C(0,2,0),N(0,0,1),
设$P(\sqrt{3},-1,t),其中0<t≤1$,
故$\overrightarrow{PE}=(0,1,-t),\overrightarrow{EC}=(-\sqrt{3},2,0)$
设面PEC的法向量$\overrightarrow n=(x,y,z)$,
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=y-zt=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=-\sqrt{3}x+2y=0\end{array}\right.$,取x=2,得$\overrightarrow{n}$=(2,$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{t}$),
由题意知$\overrightarrow{DN}=(0,0,1)$为平面DEC的一个法向量,
∵二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$,
∴$cos\frac{π}{6}=|{cos<\overrightarrow n•\overrightarrow{DN}>}|=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{t}}}{{\sqrt{4+3+\frac{3}{t}}}}得t=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$.
∴在线段 AM上存在点P,使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$,
此时$|{AP}|=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$.…(12分)

点评 本题考查线面平行的证明,考查使二面角的大小为$\frac{π}{6}$的点是否存在的判断及求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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