Question

17．已知某几何体如图所示，若四边形ADMN为矩形，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，平面ADNM⊥平面ABCD，E为AB中点，AD=2，AM=1．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$？若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接MC交BN于F，连结EF，由已知得ABCD是平行四边形，从而EF∥AN，由此能证明AN∥平面MEC．
（2）以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DN为z轴，建立空间直角坐标系由D-xyz，利用向量法能求出在线段 AM上存在点P，使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$，并能求出|AP|长．

解答 证明：（1）连接MC交BN于F，连结EF，
由已知可得ABCD是平行四边形，∴F为BN的中点，
由E的AB中点得：EF∥AN，…（2分）
∵AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．…（4分）
解：（2）由题意，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DN为z轴，
如图建立空间直角坐标系由D-xyz，
则$D（0，0，0），E（\sqrt{3}，0，0）$，C（0，2，0），N（0，0，1），
设$P（\sqrt{3}，-1，t），其中0＜t≤1$，
故$\overrightarrow{PE}=（0，1，-t），\overrightarrow{EC}=（-\sqrt{3}，2，0）$
设面PEC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=y-zt=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{EC}=-\sqrt{3}x+2y=0\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{t}$），
由题意知$\overrightarrow{DN}=（0，0，1）$为平面DEC的一个法向量，
∵二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$，
∴$cos\frac{π}{6}=|{cos＜\overrightarrow n•\overrightarrow{DN}＞}|=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{t}}}{{\sqrt{4+3+\frac{3}{t}}}}得t=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．
∴在线段 AM上存在点P，使二面角P-EC-D的大小为$\frac{π}{6}$，
此时$|{AP}|=\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查使二面角的大小为$\frac{π}{6}$的点是否存在的判断及求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．